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Lektion 1: Einführung in komplexe Zahlen

 

L1.1: Definition

L1.2: Gaußsche Zahlenebene

L1.3: Eigenschaften

L1.4: Anwendungsbeispiel: Quadratische Gleichung

L1.5: Weitere Anwendungsbeispiele

 

L1.1: Definition

Im Bereich der reellen Zahlen ist die (Quadrat-) Wurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Daher haben quadratische Gleichungen mit negativen Diskriminanten in der Menge keine Lösung. Diese Einschränkung hat man durch die Einführung einer neuen Menge überwunden, die als eine Erweiterung der bisherigen Menge () zu verstehen ist. D.h. die Menge der reellen Zahlen ist in der Menge der komplexen Zahlen enthalten. Diese Erweiterung ist die Menge aller Komplexen Zahlen ().

Man definiert die imaginäre Einheit j mit der Eigenschaft:

 

 

HINWEIS:

Die imaginäre Einheit wird oft mit i anstelle von j bezeichnet. Da in der Elektrotechnik der Buchstabe i für den elektrischen Strom "reserviert" ist,  verwendet man ausschließlich j, um Verwechselungen zu vermeiden]

 

Man definiere weiterhin:

 

 

 

 

L1.2: Gaußsche Zahlenebene

 

Man verwendet zur Darstellung von reellen Zahlen den bekannten Zahlenstrahl (eine in beiden Richtungen unendliche Gerade). Um eine komplexe Zahl darstellen zu können, hat man eine zweite Achse (die imaginäre Achse) eingeführt, die senkrecht auf der reellen Achse steht. Die beiden Achsen spannen so eine Ebene auf. Diese Ebene wird (nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß) "Gaußsche Zahlenebene" (kurz GZE) oder "komplexe Zahlenebene" genannt.

 

 

Soll eine Zahl z = a + j*b auf der Gaußschen Zahlenebene dargestellt, so trägt man den Realteil a auf der reellen Achse und den Imaginärteil b auf der Imaginären Achse. Hierdurch erhält man einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene. Dieser Punkt stellt die komplexe Zahl z dar. Somit entspricht jede komplexe Zahle einen Punkt auf der Gaußschen Zahlenebene. Zeichnet man einen "Pfeil", der den Ursprung mit diesem Punkt verbindet und auf denselben Punkt zeigt, so bekommt man den so genannten Zeiger.

 

'Zeiger' bzw. die komplexe Rechnung werden aufgrund der großen Vorteile, die sie gegenüber dem Rechnen mit Zeitfunktionen bieten,  mit der Wechselstromtechnik  in Verbindung gebracht.

 

 

 

 

L1.3: Eigenschaften

 

8 Die Länge des Zeigers oder der Betrag der komplexen Zahl wird berechnet durch: |z| = Wurzel(a2 + b2)

 

8 Als die zu z = a + j*b konjugiert komplexe Zahl bezeichnet man die komplexe Zahl z*, die sich von z nur durch das Vorzeichen des Imaginärteils unterscheidet z* = a -  j*b. Im untenstehenden Bild sind z und z*dargestellt.

 

 

8 Der (Phasen-) Winkel φ, den der Zeiger von z  mit der reellen Achse bildet, wird folgendermaßen berechnet:

 

   bzw. 

 

Der Winkel wird im Uhrzeigersinn, wie es auf dem unteren Bild dargestellt ist, ausgehend von der (positiven) reellen Achse, gezählt und wird oft in Gradmaß oder Bogenmaß angegeben bzw. gewünscht.

Mit Umrechnungen zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß ist immer zu rechnen .

 

 

 

 

 

L1.4: Anwendungsbeispiel: Quadratische Gleichung

 

Nachfolgend ist eine quadratische Gleichung zu lösen, die im Bereich der reellen Zahlen bisher keine Lösung hatte, da die Diskriminante negativ ist. Im Bereich der komplexen Zahlen hat die quadratische Gleichung zwei komplexe Lösungen, die konjugiert komplex zu einander sind:

 

 

 

 

L1.5: Weitere Anwendungsbeispiele 

 

Im Unterricht wurden/ werden mehrere Praxisbeispiele als Powerpoint-Präsentation (KMPLX_Zahl_Komponent__MOU.ppt) vorgestellt:

  - Ohmscher Widerstand als Beispiel für eine komplexe Zahl, die rein reell ist,

  - induktive und kapazitive Blindwiderstände als Beispiele für komplexe Zahlen, die rein Imaginär sind,

  - komplexe Scheinwiderstände von RL- und RC-Reihenschaltungen als Beispiele für komplexe Zahlen, die sowohl einen Realteil (Wirkanteil) als auch einen Imaginärteil (Blindanteil) besitzen.

 

 

 

 

 

... weiter zu Lektion 2:
Darstellungsformen von komplexen Zahlen

 

 

Die Anwendungsbeispiele, Simulationen,... stehen den angemeldeten Schülerinnen und Schülern im geschützten Bereich (Klassenraum bei lo-net) zur Verfügung.
     Der Mathematiker Carl Friedrich Gauss
Geboren:     1777, Brunswick, Deutschland
Gestorben:  1855, Göttingen, Deutschland