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Lektion 2: Darstellungsformen von komplexen Zahlen

 

Eine komplexe Zahl lässt sich in drei verschiedenen gleichwertigen Formen darstellen. D.h. die Information (z.B. ein komplexer Scheinwiderstand oder ein Strom), die von der komplexen Zahl ausgedrückt wird bleibt unabhängig von der Darstellungsform unverändert. Welche Form man benutzen sollte, ist situationsabhängig. Es soll immer die Form verwendet werden, die bei der Rechnung schneller zum Ziel führt. So ist beispielsweise die Komponentendarstellung für Addition und Subtraktion zweier komplexen Zahlen günstig, während die Exponentialform bei Multiplikation und Division von komplexen Zahlen die zweckdienliche Form ist.

Nachfolgend werden die drei Darstellungsformen von komplexen Zahlen vorgestellt:

 

L2.1: Komponentenform

L2.2: Trigonometrische Form

L2.3: Exponentialform ( = Eulerform)

 

Umrechnung in die verschiedenen Formen

 

Bei der Berechnung von Wechselstromkreisen müssen sehr oft, wie es in der Gleichstromtechnik der Fall ist, mathematische Operationen (Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division,...) auf die elektrischen Größen (Widerstände, Spannungen, Ströme, Leistungen,...) angewendet werden.  Nach der Einführung der komplexen Rechnung in der Elektrotechnik wurde dieses Rechnen einfacher und eleganter.

 

Da komplexe Zahlen in allen drei Darstellungsformen vorlegen können, muss man in der Lage sein, diese Zahlen in eine andere Form umzurechnen, mit der man schneller rechnen kann. Nachfolgend werden diese Umrechnungen vorgestellt.

 

Eine Excel-Simulation zur Übung dieser Umrechnungen steht Ihnen im geschützten Bereich zur Verfügung.

 

L2.4: Umrechnung von Komponentenform in trigonometrische Form bzw. in Exponentialform

L2.5: Umrechnung von trigonometrischer Form bzw. von Exponentialform in Komponentenform

 

 

 

 

L2.1: Komponentenform:

 

Die Komponentenform der komplexen Zahl z lautet allgemein:

 

 

EINIGE VORTEILE:

ü Real- und Imaginärteil (Wirk- und Blindanteil) direkt ablesbar

ü Addition und Subtraktion leicht ausführbar

ü Mit den in dieser Darstellungsform nun bekannten Komponenten (Real- und  Imaginärteil), lässt sich die komplexe Zahl z bzw. der zugehörige Zeiger mühelos auf der Gaußschen Zahlenebene grafisch darstellen!

 

Beispiel aus der Wechselstromtechnik:

 

Die Ersatzimpedanz ZERS (analog zum Ersatzwiderstand bei Gleichstrom) von zwei in Reihe geschalteten Impedanzen (komplexen Scheinwiderständen) Z1 und Z2 lässt sich bekanntermaßen durch die Addition der Impedanzen Z1 und Z2 berechnen: ZERS = Z1 + Z2. In diesem Fall sind die komplexen Scheinwiderstände Z1 und Z2 jeweils in die Komponentenform umzurechnen.

 

Der komplexe Scheinwiderstand Z einer RL-Reihenschaltung (reale Spule mit dem Gleichstromwiderstand Ro und dem induktiven Blindwiderstand XL) sieht in der Komponentendarstellungsform folgendermaßen aus:

 

 

Zahlenbeispiel:

 

 

 

 

 

L2.2: Trigonometrische Form:

 

Die trigonometrische Form der komplexen Zahl z lautet allgemein: 

 

 

|z|: Zeigerlänge

φ: Phasenwinkel, der  Winkel, der im mathematisch positiven Sinn vom Zeiger mit der reellen Achse eingeschlossen ist

 

 

L2.3: Exponentialform ( = Eulerform):

 

Ausgehend von der oben beschriebenen trigonometrischen Form und unter Verwendung der Eulerschen Identität:

 

 

gewinnt man die 3. Darstellungsform einer komplexen Zahl: Die Exponentialform oder Eulerform

 

 

 

EINIGE VORTEILE:

ü  Zeigerlänge und Phasenwinkel direkt ablesbar

ü Multiplikation/Division, Potenzieren, Radizieren (Wurzelziehen), ... leicht ausführbar

ü Mit den in dieser Darstellungsform nun bekannten Betrag und Phasenwinkel lässt sich die komplexe Zahl z bzw. der zugehörige Zeiger ebenfalls mühelos auf der Gaußschen Zahlenebene grafisch darstellen!

 

Beispiel aus der Wechselstromtechnik:

 

Liegt in einer Schaltung der komplexe Scheinwiderstand Z und die daran liegende Spannung U vor, so muss zur Berechnung des fließenden Stromes I das Verhältnis I = U / Z (analog zu I = U / R bei Gleichstrom) gebildet werden. In diesem Fall ist es, in Bezug auf den benötigten Rechenaufwand, vorteilhafter, den komplexen Scheinwiderstand Z und die Spannung U jeweils in die Exponentialform bzw. trigonometrische Form umzurechnen.

 

Der komplexe Scheinwiderstand Z einer RL-Reihenschaltung (reale Spule mit dem Gleichstromwiderstand Ro und dem induktiven Blindwiderstand XL) sieht beispielsweise in der Exponentialform bzw. trigonometrischen Form folgendermaßen aus:

 

 

 

Zahlenbeispiel:

 

 

HINWEIS:

Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird auf diesen Webseiten der Phasenwinkel überwiegend in Gradmaß angegeben. Mit Umrechnungen ins und aus dem Bogenmaß ist jedoch immer zu rechnen!!

 

 

Umrechnung in die verschiedenen Formen:

 

L2.4: Umrechnung von Komponentenform in trigonometrische Form bzw. in Exponentialform:

 

Die Komponentendarstellung einer komplexen Zahl z lautet:

 

 

Daraus werden die für die trigonometrischen Darstellung nötigen Informationen gewonnen: Betrag und Phasenwinkel

 

 

Bei der Ermittlung des Phasenwinkels sind folgende Fälle zu unterscheiden:

 

 

HINWEIS:

Fertigen Sie zur Kontrolle unaufgefordert immer eine Skizze des entsprechenden Zeigers auf der Gaußschen Zahlenebene!

 

Mit den ermittelten Werten lässt sich die komplexe Zahl z in trigonometrischer Form angeben:

 

 

 

Beispiel aus der Wechselstromtechnik:

 

Der komplexe Scheinwiderstand Z einer RL-Reihenschaltung - Reihenschaltung eines Ohmschen Widerstands R und eines induktiven Blindwiderstands XL (ideale Spule) - liegt in Komponentenform vor, die in die trigonometrische Form umgerechnet werden soll:

 

 

Der Betrag des komplexen Scheinwiderstandes Z lautet:

 

 

Den Phasenwinkel lässt sich folgendermaßen ermitteln:

Da R >0 (Ohmscher Widerstand immer positiv ), XL >0 (induktiver Blindwiderstand immer positiv ), lautet der Phasenwinkel:

 

 

Den komplexen Scheinwiderstand  Z kann nun mithilfe von den ermittelten Werten für den Betrag und Phasenwinkel in trigonometrischer Form,

 

 

und in Exponentialform

 

 

angegeben werden.

 

 

 

L2.5: Umrechnung von trigonometrischer Form bzw. von Exponentialform  in Komponentenform:

 

Eine komplexe Zahl z ist wie folgt vorgegeben:

 

 

Von der komplexen Zahl z sind also der Betrag und der Phasenwinkel bekannt. Daraus sollen der Real- und Imaginärteil gewonnen werden.

 

 

Eine Zahl, die in der Exponentialform vorliegt, muss aufgrund der Eulerschen Beziehung zunächst in die trigonometrische Form umgewandelt  werden, bevor sie in in die Komponentenform umgerechnet wird.

 

 

Zahlenbeispiel aus der Wechselstromtechnik:

 

Ein komplexer Scheinwiderstand Z liegt  in Exponentialform vor:

 

 

Vom  Betrag und dem Phasenwinkel können die Wirk- und Blindanteile des komplexen Scheinwiderstandes nicht direkt abgelesen werden. Um dies tun zu können, muss Z in die Komponentenform umgewandelt  werden:

 

 

Geht man von einer Reihenschaltung aus, so handelt es sich um einen Ohmschen Widerstand R = 10 kW und einen Kondensator mit einem negativen Blindwiderstand (kapazitiven Blindwiderstand)  XC=  50 kW .  

 

 

 

 

 

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Rechnen mit komplexen Zahlen