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Komplexe Rechnung
in der Elektrotechnik

 

 

 

 

 

ET1: Wechselstromtechnik

         ET1.1: Wechselstrom

         ET1.2 Wechselspannung

         ET1.3: Phasenverschiebung

         ET1.4 Scheingrößen (Komplexe)

ET2:  Komplexe Rechnung in der Wechselstromtechnik

         ET2.1: Scheinwiderstand (Komplexer)

         ET2.2: Reihen-/Parallelschaltung

         ET2.3: Komplexe/r Scheinstrom, Scheinspannung, Scheinleistung

 

 

ET1:  Wechselstromtechnik

Im Allgemeinen kann eine elektrische Größe (z.B. ein Strom oder eine Spannung) unterschiedliche Verläufe (z. B. Rechteck-, Dreieck- und Sägezahnwechselstrom, u. ä.) annehmen. Wiederholt sich der Zeitverlauf nach der Periodendauer T, so handelt es sich um einen periodischen Verlauf. Sehr verbreitet ist jedoch der "sinusförmige Verlauf", der den nachfolgenden Ausführungen zugrunde liegt.

 

   ET1.1: Wechselstrom

Anders als Gleichstrom ändert der Wechselstrom (Kurzbezeichnung AC = engl. Alternating Current) seine Größe und seine Richtung periodisch (mit einer bestimmten Frequenz f) zwischen einem positiven î und einem negativen Höchstwert (Scheitelwert).

 

Der Momentanwert des Stromes:  i(t) = î *sin(wt+φi)

Bei Berechnungen wird oft der Effektivwert des Stromes: I verwendet.

 

   ET1.2: Wechselspannung

Anders als Gleichspannung ändert die Wechselspannung ihre Größe und ihre Richtung periodisch (mit einer bestimmten Frequenz) zwischen einem positiven û und einem negativen Höchstwert (Scheitelwert).

 

Der Momentanwert der Spannung: u(t) = û*sin(wt+φu)

Bei Berechnungen wird oft der Effektivwert der Spannung: U verwendet.

 

Liniendiagramm

 

 

 

   ET1.3: Phasenverschiebung

Neben Ohmschen Widerständen sind Spulen (Induktivitäten) und Kondensatoren (Kapazitäten) aus einem Netzwerk nicht auszudenken. Teils werden sie als Bauelemente in einer Schaltung eingebaut (Spulen eines Elektromotors, Leuchtstofflampen, RLC-Schwingkreise, Kompensationskondensatoren) und teils treten sie als Störfaktoren auf (Induktivität und Kapazität einer Datenübertragungsleitung), deren Einflüsse man durch bestimmte Maßnahmen beseitigen oder gering halten will.

    

φ = Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom u und Spannung i

 

Wie aus der Gleichstromtechnik bekannt ist, bleiben Ohmsche Widerstände in Wechselstromnetzen reine Energiewandler (Wärme). Die vom Widerstand aufgenommene Energie kann nicht mehr zurück gewonnen werden. Die umgesetzte Leistung heißt nach wie vor Wirkleistung P (Einheit: Watt).

 

 

Spulen sind Energiespeicher. Liegt eine Wechselspannung an einer Spule an, so baut sich beim Anwachsen der Stromstärke ein Magnetfeld auf: Die Spule nimmt Energie auf und verhält sich wie ein Verbraucher. Sie gibt bei einer Abnahme des Stromes genau die aufgenommene magnetische Energie am Generator ab, sodass die Leistung im zeitlichen Durchschnitt null ist.

 

 

Aus diesem Grund wird der zugehörige frequenzabhängige Widerstand induktiver Blindwiderstand XL (Einheit W) und die Leistung induktive Blindleistung Q (Einheit: VAr) genannt.

 

 

Kondensatoren sind ebenfalls Energiespeicher. Fließt ein Wechselstrom durch einen Kondensator, so baut sich ein elektrisches Feld auf und ab: Er nimmt zunächst Energie auf und verhält sich wie ein Verbraucher. Später gibt er genau die aufgenommene elektrische Energie an der Spannungsquelle ab, sodass die Leistung im zeitlichen Durchschnitt auch null ist.

 

 

Aus diesem Grund wird der zugehörige frequenzabhängige Widerstand kapazitiver Blindwiderstand XC (Einheit W) und die Leistung kapazitive Blindleistung Q (Einheit: VAr) genannt.

 

 

 

   ET1.4: Scheingrößen (Komplexe)

 Wie oben ausgeführt, verursachen die Induktivitäten und Kapazitäten Phasenverschiebungen zwischen dem Wechselstrom und der Wechselspannung. Ein Teil der gelieferten Energie wird in Ohmschen Widerständen in andere Energieformen ( z.B. Wärme, Bewegung ) umgewandelt. Er ist für die real zu verrichtende Arbeit zuständig und wird Wirkanteil genannt. Der andere Teil der Energie dagegen pendelt verlustfrei, ohne verwertet zu werden, zwischen diesen Energie speichernden Bauelementen - Blindenwiderständen- untereinander und dem Generator (Spannungsquelle) hin und her. Dieser Teil heißt Blindanteil. Dementsprechend kann man sich den Wechselstrom, die Wechselspannung, die Leistung und den Wechselstromwiderstand aus diesen beiden Teilen zusammengesetzt vorstellen.

 

Man kann die beiden Teile nicht trennen, sodass sie immer als "Paar" auftreten. In diesem Fall bezeichnet man die entsprechende Größe Scheingröße: Z.B. Scheinwiderstand, Scheinstrom, Scheinspannung und Scheinleistung. Deren Werte dürfen allerdings nicht algebraisch addiert werden, sondern geometrisch.

Diesen Sachverhalt hat man mathematisch mithilfe der komplexen Rechnung folgendermaßen beschrieben:

 

 

Hierbei haben Wirkgrößen immer positives Vorzeichen (Energie wird aufgenommen und umgewandelt). Blindgrößen können sowohl positives (Energie wird aufgenommen und gespeichert) als auch negatives Vorzeichen (gespeicherte Energie wird zurückgegeben) haben.

 

 

ET2: Komplexe Rechnung in der Wechselstromtechnik

Ohne die komplexe Rechnung hätte man bei der Berechnung von Wechselstromnetzwerken u. a. mit Zeitfunktionen der Form u(t) = û*sin(wt+φu) und i(t) = î*sin(wt+φi) arbeiten müssen. Dies ist zeitaufwendig. Man hat die komplexe Rechnung in Elektrotechnik eingeführt, um einfacher zu rechnen.

 

Eine kurze Einführung in die komplexe Wechselstromrechnung wird im folgenden vorgestellt. Das Erfreuliche daran ist, dass fast alle bekannte Berechnungsmethoden der Gleichstromtechnik (Ohmsche Gesetz, Reihen-, Parallelschaltung, Knoten-, Maschenregel, u. ä.) sich mithilfe der Effektivwerte von sinusförmigen Strom und Spannung für die Wechselstromtechnik wieder verwenden lassen. Leistungsberechnungen müssen besonders behandelt werden.

 

Wechselströme, -Spannungen, Widerstände, -Leistungen oder allgemein Wechselstromgrößen besitzen genau wie komplexe Zahlen jeweils Wirk- und Blindanteile bzw. Betrag und Phase. Interessanter noch ist die Tatsache, dass die physikalischen Beziehungen zwischen diesen Wechselstromgrößen mit den mathematischen Rechenregeln für komplexe Zahlen übereinstimmen.

 

Außerdem bietet die grafische Zeigerdarstellung von komplexen Zahlen bzw. von Wechselstromgrößen auf der Gaußschen Zahlenebene eine zusätzliche Vereinfachung der Berechnungen. Man kann mit Zeigern mathematische Operationen grafisch durchführen.

 

Mathematische Operationen (Addition, Multiplikation, Potenz und andere ) lassen sich auf komplexe Zahlen, die in drei verschiedenen gleichwertigen Formen darstellbar sind, leicht anwenden.

 

Dies waren/sind nicht nur für Anwender der Elektrotechnik speziell der Wechselstromtechnik sehr gute Gründe, um die komplexe Rechnung einzuführen und zu benutzen. Hierdurch wurden - wie oben ausgeführt - viele Rechnungen entscheidend einfacher.

 

Es wird hierbei vorausgesetzt, dass die Spannungs- und Stromquellen in dem zu berechnenden Netzwerk sinusförmige (harmonische) Größen DERSELBEN Frequenz sind Das Netzwerk wird im stationären Zustand betrachtet und besteht neben diesen Quellen ausschließlich aus Ohmschen Widerständen, Spulen und Kondensatoren.

 

 

  ET2.1: Scheinwiderstand (Komplexer)

 

Das Ohmsche Gesetz:

 

 

 

 

 

   

 

 

  ET2.2: Reihen-/Parallelschaltung

 

Komplexer Scheinwiderstand = Wirkwiderstand +j*Blindwiderstand

 

 

RL-Reihenschaltung: (vergl. komplexer Widerstand einer Doppeladerleitung)

 

  

 

 

RC-Reihenschaltung:

 

  

 

 

 

 

   ET2.3: Komplexe/r Scheinstrom, Scheinspannung, Scheinleistung

 

Im Folgenden soll die Leistung, die in einem Wechselstromkreis umgesetzt wird, untersucht werden. Am Beispiel der untenstehenden RL-Schaltung werden die wichtigsten Sachverhalte und Zusammenhänge verdeutlicht. Die Erkenntnisse können anschließend verallgemeinert werden.

 

 

 

 

Durch den komplexen Scheinwiderstand Z = R + j* XL fließt der Scheinstrom I (Bezugsgröße):

 

Die anliegende Spannung U beträgt:

 

Die komplexe Scheinleistung S = P + j*Q  bestehend aus einem Wirkanteil P (Wirkleistung) und einem Blindanteil Q (Blindleistung) lässt sich mit

 

 

(vergl. konjugiert komplexe Zahl ) berechnen.

 

 

Der Faktor  heißt Leistungsfaktor

Der Winkel φ zwischen den Zeigern von Schein- und Wirkleistung ist derselbe
Winkel zwischen Strom und Spannung: Der Phasenverschiebungswinkel.

 

Die Die Wirkleistung P hat die Einheit: Watt

Die Blindleistung Q hat die Einheit: VAr (Volt Ampere reactiv)

Die (komplexe) Scheinleistung S hat die Einheit: VA

 

Mit  kann die komplexe Scheinleistung anders geschrieben werden: