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Lektion 0: Grundlagen/Vorbereitung

 

L0.1: Quadratische Gleichungen

 

Verschiedenes:

L0.2: Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus und Tangens 

L0.3: Satz des Pythagoras

L0.4: Winkelmaße: Grad- und Bogenmaß

 

 

L0.1: Quadratische Gleichungen

Unter einer quadratischen Gleichung der allgemeinen Form versteht man eine Gleichung der Form a2x2 + a1x + a0 = 0  (z.B. 2x2 + 8x + 10 = 0 ) , wobei die Koeffizienten a2≠0 , a1 und a0 reelle Zahlen sind.

Man nennt:

 

Dividiert man die allgemeine quadratische Gleichung durch die Zahl a2, so entsteht die Normalform der quadratischen Gleichung: 1x2 + px + q = 0 oder einfach  x2 + px + q = 0.

 

Im obigen Beispiel ist a2=2. Dividiert man die Gleichung durch 2, so entsteht  die Normalform: x2 + 4x + 5 = 0

 

Was bedeutet die Lösung einer quadratischen Gleichung?

Eine Lösung der quadratischen Gleichung x1 ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird.

Eine quadratische Gleichung oder Gleichung 2. Grades hat maximal zwei Lösungen x1 und  x2.

 

Wie Löse ich eine quadratische Gleichung?

Zum Lösen einer quadratischen Gleichung kann man die Methode der quadratischen Ergänzung benutzen. Dies lässt sich an einem Beispiel einfacher zeigen.

 

Aufgabe: Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:

 

 

Lösung:

Es handelt sich hier um eine quadratische Gleichung der allgemeinen Form. Dividiert man die Gleichung durch 3, so  bekommt man die Normalform der Gleichung:

 

 

Die quadratische Gleichung soll nach der Methode der quadratischen Ergänzung gelöst werden:

 

 

 

Die quadratische Gleichung hat die Lösungen:

 

 

Probe:

Die Zahlen  x1=1 und x2=-5 werden in die Normalform eingesetzt:

 

Für x1=1 gilt:

 

 

Diese Aussage ist wahr. Somit ist die Gleichung erfüllt.

 

 

 

Für x2=-5 gilt:

 

 

Diese Aussage ist ebenfalls wahr. Somit ist die Gleichung erfüllt.

 


 

L0.2: Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus, Tangens

Im folgenden wird, wie das nebenstehende Bild zeigt, von einem rechwinkligen Dreieck ausgegangen.

 

 

 

 

Sinus-Funktion:

Der Sinus eines Winkels a, geschrieben sin(a), ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis "Gegenkathete/Hypotenuse":

 

Definitionsbereich: R

Wertebereich: das Intervall -£ x £ 1

 

 

 

 

 

 

Cosinus-Funktion:

Der Cosinus eines Winkels a, geschrieben cos(a), ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis "Ankathete/Hypotenuse":

 

Definitionsbereich: R

Wertebereich: das Intervall -£ x £ 1

 

 

 

 

 

 

Tangens-Funktion:

Der Tangens eines Winkels a, geschrieben tan(a), ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis "Gegenkathete/Ankathete":

 

Definitionsbereich: R \ { (n + 1/2)p | n ganzzahlig }

Wertebereich: R

 

 

 

 


 

L0.3: Satz des Pythagoras

Anwendungsgebiet des Satzes

Sind zwei Seiten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks bekannt, so kann man mit Hilfe des Pythagorassatzes die dritte Seite berechnet werden.

 

Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich der Summe des Hypotenusenquadrates. Oder kurz:

 

 

Beispiel: Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse (c=50 cm) und eine der Katheten (z.B. b=30 cm) bekannt.

Wie groß ist die dritte Seite?

c² = a² + b²  a a² = c²  -  b²

                        a a  = Wurzel(c²  - b²)

                        a a  = Wurzel((50 cm)²  - (30 cm)²)

                        a a  = Wurzel(1600 cm²)

                        a a  = 40 cm

 


 

L0.4: Winkelmaße: Grad- und Bogenmaß

Grad- und Bogenmaße sind Systeme zur Angabe von Winkelgrößen. Winkel, die im Bogenmaß angegeben sind, können im Gradmaß und umgekehrt umgerechnet werden. 180 Grad im Gradmaß entspricht bekanntlich p im Bogenmaß.

 

Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß

 

 

Beispiel: Rechnen Sie den Winkel a = 45° in das Bogenmaß um!

a = 45° * 2p/360° a a = p/4

 

Umrechnung vom Bogenmaß in das Gradmaß

 

 

Beispiel: Rechnen Sie den Winkel a = p/6 in das Gradmaß um!

a = (p/6) * 360°/(2p) a a = 30°

 

 

 

 

 

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Einführung in komplexe Zahlen

 

 

weitere Informationen finden Sie z.B. im Mathematik Fachbuch 'Mathematik zur Fachhochschulreife' ab S. 103
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